6. Преобразуйте выражение $$\left(-\frac{2}{3}a^{-4}b^{-8}\right)^{-2} \cdot (3a^2b^{12})^{-3}$$ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем первую скобку.
  • $$\left(-\frac{2}{3}a^{-4}b^{-8}\right)^{-2} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot (a^{-4})^{-2} \cdot (b^{-8})^{-2}$$
  • $$\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$$.
  • $$(a^{-4})^{-2} = a^{-4 · (-2)} = a^8$$.
  • $$(b^{-8})^{-2} = b^{-8 · (-2)} = b^{16}$$.
  • Таким образом, первая часть выражения равна: $$\frac{9}{4}a^8b^{16}$$.
• Шаг 2: Преобразуем вторую скобку.
  • $$(3a^2b^{12})^{-3} = 3^{-3} · (a^2)^{-3} · (b^{12})^{-3}$$.
  • $$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$$.
  • $$(a^2)^{-3} = a^{2 · (-3)} = a^{-6}$$.
  • $$(b^{12})^{-3} = b^{12 · (-3)} = b^{-36}$$.
  • Таким образом, вторая часть выражения равна: $$\frac{1}{27}a^{-6}b^{-36}$$.
• Шаг 3: Перемножим результаты из Шага 1 и Шага 2.
  • $$\frac{9}{4}a^8b^{16} \cdot \frac{1}{27}a^{-6}b^{-36}$$.
  • Перемножим числовые коэффициенты: $$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{27} = \frac{9}{4 · 27} = \frac{1}{4 · 3} = \frac{1}{12}$$.
  • Перемножим степени с основанием $$a$$: $$a^8 · a^{-6} = a^{8+(-6)} = a^2$$.
  • Перемножим степени с основанием $$b$$: $$b^{16} · b^{-36} = b^{16+(-36)} = b^{-20}$$.
  • Получаем: $$\frac{1}{12}a^2b^{-20}$$.
• Шаг 4: Избавимся от отрицательного показателя степени.
  • $$\frac{1}{12}a^2b^{-20} = \frac{a^2}{12b^{20}}$$.

Ответ: $$\frac{a^2}{12b^{20}}$$.