7. Вычислите: 1) $$(27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2}$$; 2) $$\frac{(-64)^{-4} \cdot 8^{3}}{16^{-3}}$$

Пошаговое решение:

1) $$(27 · 3^{-6})^2 · (9^{-1})^{-2}$$

• Приведем все основания к одному: 27 = $$3^3$$, 9 = $$3^2$$.
• Подставим в выражение: $$((3^3) · 3^{-6})^2 · ((3^2)^{-1})^{-2}$$.
• Упростим первую скобку: $$(3^{3+(-6)})^2 = (3^{-3})^2 = 3^{-3 · 2} = 3^{-6}$$.
• Упростим вторую скобку: $$(3^{2 · (-1)})^{-2} = (3^{-2})^{-2} = 3^{-2 · (-2)} = 3^4$$.
• Теперь перемножим полученные степени: $$3^{-6} · 3^4 = 3^{-6+4} = 3^{-2}$$.
• Вычислим значение: $$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$.

2) $$\frac{(-64)^{-4} \cdot 8^{3}}{16^{-3}}$$

• Приведем все основания к одному (8): -64 = $$-8^2$$, 16 = $$8^{4/3}$$ (или $$2^4$$). Проще привести к основанию 2: -64 = $$-2^6$$, 8 = $$2^3$$, 16 = $$2^4$$.
• Подставим в выражение, используя основание 2: $$\frac{(-2^6)^{-4} · (2^3)^{3}}{(2^4)^{-3}}$$.
• Упростим числитель: $$(-2^6)^{-4} = (-1)^{-4} · (2^6)^{-4} = 1 · 2^{6 · (-4)} = 2^{-24}$$.
• $$(2^3)^3 = 2^{3 · 3} = 2^9$$.
• Числитель: $$2^{-24} · 2^9 = 2^{-24+9} = 2^{-15}$$.
• Упростим знаменатель: $$(2^4)^{-3} = 2^{4 · (-3)} = 2^{-12}$$.
• Теперь разделим числитель на знаменатель: $$\frac{2^{-15}}{2^{-12}} = 2^{-15 - (-12)} = 2^{-15+12} = 2^{-3}$$.
• Вычислим значение: $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$.

Ответ: 1) $$\frac{1}{9}$$; 2) $$\frac{1}{8}$$.