6. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 96 км. Это расстояние катер проплывает по течению за 6 часов, против течения за 8 ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость катера по течению: \( v_{по\;теч} = v_к + v_т \).

Скорость катера против течения: \( v_{против\;теч} = v_к - v_т \).

Расстояние \( S = 96 \) км.

Время по течению \( t_{по\;теч} = 6 \) ч.

Время против течения \( t_{против\;теч} = 8 \) ч.

Используем формулу \( S = v \cdot t \) для обоих случаев:

1. По течению: \( 96 = (v_к + v_т) \cdot 6 \).
2. Против течения: \( 96 = (v_к - v_т) \cdot 8 \).

Разделим первое уравнение на 6, а второе на 8:

1') \( \frac{96}{6} = v_к + v_т \) \( \Rightarrow 16 = v_к + v_т \)

2') \( \frac{96}{8} = v_к - v_т \) \( \Rightarrow 12 = v_к - v_т \)

Получили систему уравнений:

\( \begin{cases} v_к + v_т = 16 \\ v_к - v_т = 12 \end{cases} \)

Сложим оба уравнения системы:

\( (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 16 + 12 \)

\( 2v_к = 28 \)

\( v_к = \frac{28}{2} = 14 \) км/ч.

Теперь найдем \( v_т \), подставив \( v_к = 14 \) в первое уравнение:

\( 14 + v_т = 16 \)

\( v_т = 16 - 14 = 2 \) км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 14 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.