6. Решить уравнение \(2\cos^2x+5\sin x+1=0\).

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\[2(1-\sin^2x)+5\sin x+1=0,\]

\[2\sin^2x-5\sin x-3=0.\]

Пусть \(t=\sin x\). Тогда

\[2t^2-5t-3=0,\qquad (2t+1)(t-3)=0.\]

Значение \(t=3\) невозможно, поэтому \(\sin x=-\dfrac12\).

Отсюда:

\[x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Ответ: \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k\).