6. Решите уравнение: \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \)

Решение:

Это кубическое уравнение. Попробуем сгруппировать слагаемые:

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

\( (x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0 \)

1. Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \)

1. Теперь вынесем общий множитель \( (x+3) \) за скобки:

\( (x + 3)(x^2 - 4) = 0 \)

1. Разложим выражение \( x^2 - 4 \) как разность квадратов: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
2. Теперь уравнение выглядит так:

\( (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \)

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

• \( x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -3 \)
• \( x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = 2 \)
• \( x + 2 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \)

Ответ: \( x = -3, x = 2, x = -2 \).