6). Сократите дробь: a). $$\frac{14a^3b^5}{21a^4b^4}$$; б). $$\frac{x^2+x}{x^2}$$.

Задание 6. Сокращение дробей

а) Сокращение дробно-алгебраической дроби

Дробь:

\[ \frac{14a^3b^5}{21a^4b^4} \]

Шаг 1: Сократим числовые коэффициенты.

Наибольший общий делитель чисел 14 и 21 равен 7. Делим числитель и знаменатель на 7:

\[ \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3} \]

Шаг 2: Сократим степени переменной 'a'.

Используем правило деления степеней: $$a^m / a^n = a^{m-n}$$.

В числителе $$a^3$$, в знаменателе $$a^4$$. Вычитаем меньшую степень из большей: $$a^{4-3} = a^1 = a$$. Знаменатель остается, так как там степень больше.

\[ \frac{a^3}{a^4} = \frac{1}{a^{4-3}} = \frac{1}{a} \]

Шаг 3: Сократим степени переменной 'b'.

В числителе $$b^5$$, в знаменателе $$b^4$$. Вычитаем меньшую степень из большей: $$b^{5-4} = b^1 = b$$. Числитель остается, так как там степень больше.

\[ \frac{b^5}{b^4} = b^{5-4} = b \]

Шаг 4: Объединим результаты.

Перемножим полученные части:

\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b = \frac{2b}{3a} \]

Ответ: $$\frac{2b}{3a}$$.

б) Сокращение дробно-алгебраической дроби

Дробь:

\[ \frac{x^2+x}{x^2} \]

Шаг 1: Вынесем общий множитель в числителе.

Общий множитель для $$x^2$$ и $$x$$ — это $$x$$. Вынесем его за скобки:

\[ x(x + 1) \]

Шаг 2: Запишем дробь с вынесенным множителем.

\[ \frac{x(x + 1)}{x^2} \]

Шаг 3: Сократим переменную 'x'.

У нас есть $$x$$ в числителе и $$x^2$$ (что равно $$x \cdot x$$) в знаменателе. Сократим на $$x$$:

\[ \frac{\cancel{x}(x + 1)}{\cancel{x} \cdot x} = \frac{x + 1}{x} \]

Ответ: $$\frac{x + 1}{x}$$.