6. Составьте систему для решения задачи и решите её. Коля работал за станком 3 часа, а Толя 4 часа. Вместе они сделали 44 детали. Сколько деталей делал каждый за час, если за 2 часа Коля сделал на 1 деталь больше, чем Толя за 3 часа?

Решение:

Пусть \( x \) — количество деталей, которое Коля делал за 1 час, а \( y \) — количество деталей, которое Толя делал за 1 час.

Составим систему уравнений на основе условия задачи:

1. Первое условие: Вместе они сделали 44 детали. За 3 часа Коля сделал \( 3x \) деталей, а за 4 часа Толя сделал \( 4y \) деталей. Сумма их работы равна 44 деталям.
2. Второе условие: За 2 часа Коля сделал \( 2x \) деталей. За 3 часа Толя сделал \( 3y \) деталей. Известно, что \( 2x \) на 1 деталь больше, чем \( 3y \), то есть \( 2x = 3y + 1 \).

Получаем систему уравнений:

\(\begin{cases} 3x + 4y = 44 \\ 2x = 3y + 1 \end{cases}\)

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим \( 2x \), а затем \( x \):

\( 2x = 3y + 1 \)

\( x = \frac{3y + 1}{2} \)

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\( 3 \left( \frac{3y + 1}{2} \right) + 4y = 44 \)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\( 3(3y + 1) + 8y = 88 \)

Раскроем скобки:

\( 9y + 3 + 8y = 88 \)

Приведем подобные слагаемые:

\( 17y + 3 = 88 \)

Вычтем 3 из обеих частей:

\( 17y = 85 \)

Разделим обе части на 17:

\( y = \frac{85}{17} \)

\( y = 5 \)

Теперь, когда мы нашли \( y \), подставим его в выражение для \( x \):

\( x = \frac{3y + 1}{2} = \frac{3(5) + 1}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Итак, Коля делал 8 деталей в час, а Толя — 5 деталей в час.

Проверка:

• Коля за 3 часа: \( 3 \times 8 = 24 \) детали.
• Толя за 4 часа: \( 4 \times 5 = 20 \) деталей.
• Всего: \( 24 + 20 = 44 \) детали.
• За 2 часа Коля: \( 2 \times 8 = 16 \) деталей.
• За 3 часа Толя: \( 3 \times 5 = 15 \) деталей.
• \( 16 \) на 1 больше, чем \( 15 \). Все условия выполнены.

Ответ: Коля делал 8 деталей в час, Толя делал 5 деталей в час.