6 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, боковое ребро равно 8, Найдите объем пирамиды.

Решение:

Для нахождения объема правильной шестиугольной пирамиды используется формула: $$V = \frac{1}{3} S_{осн}  h$$, где $$S_{осн}$$ — площадь основания, $$h$$ — высота пирамиды.

• 1. Площадь основания ($$S_{осн}$$):
• Основание — правильный шестиугольник со стороной $$a=4$$.
• Площадь правильного шестиугольника равна $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$.
• $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}  4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}  16 = 3\sqrt{3}  8 = 24\sqrt{3}$$.
• 2. Высота пирамиды ($$h$$):
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($$h$$), апофемой ($$l$$) и радиусом вписанной окружности основания. В данном случае, удобнее использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($$h$$), боковым ребром ($$b=8$$) и радиусом описанной окружности основания.
• Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, т.е. $$R = a = 4$$.
• По теореме Пифагора: $$h^2 + R^2 = b^2$$.
• $$h^2 + 4^2 = 8^2$$
• $$h^2 + 16 = 64$$
• $$h^2 = 64 - 16 = 48$$
• $$h = \sqrt{48} = \sqrt{16  3} = 4\sqrt{3}$$.
• 3. Объем пирамиды ($$V$$):
• $$V = \frac{1}{3} S_{осн}  h = \frac{1}{3}  (24\sqrt{3})  (4\sqrt{3})$$.
• $$V = \frac{1}{3}  24  4  (\sqrt{3}  \sqrt{3})$$.
• $$V = 8  4  3 = 32  3 = 96$$.

Ответ: 96