7 Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение:

• Пусть $$V$$ — объем исходной треугольной призмы, $$V = 52$$.
• Объем призмы вычисляется как $$V = S_{осн}  h$$, где $$S_{осн}$$ — площадь основания, $$h$$ — высота призмы.
• Средняя линия основания делит основание (треугольник) на два меньших треугольника.
• Плоскость, проведенная через среднюю линию основания и параллельная боковому ребру, отсекает от исходной призмы меньшую призму.
• Основание этой отсеченной призмы будет являться треугольником, площадь которого в 2 раза меньше площади основания исходной призмы (так как средняя линия делит основание на два равновеликих треугольника, и одна из них является основанием отсеченной призмы).
• Более строго, если основание исходной призмы — треугольник $$ABC$$, а средняя линия соединяет середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то отсеченная часть имеет основание, например, треугольник $$AB'C'$$ (где $$B'$$ и $$C'$$ — середины $$AB$$ и $$AC$$) или $$MBC$$ (где $$M$$ — середина $$BC$$).
• Рассмотрим случай, когда плоскость проходит через среднюю линию, соединяющую середины двух сторон треугольника-основания, например $$AB$$ и $$AC$$. Эта средняя линия $$MN$$ (где $$M$$ — середина $$AB$$, $$N$$ — середина $$AC$$) отделит треугольник $$AMN$$, площадь которого в 4 раза меньше площади $$ABC$$. Однако, в условии сказано, что плоскость проведена через среднюю линию и параллельна боковому ребру. Это означает, что отсеченная призма имеет основание, площадь которого равна половине площади основания исходной призмы.
• Объяснение: Если мы возьмем треугольное основание $$ABC$$ и проведем среднюю линию $$MN$$ (например, соединяющую середины $$AB$$ и $$AC$$), то плоскость, проходящая через $$MN$$ и параллельная боковому ребру, отсечет призму с основанием, равным половине исходного треугольника, или призму с основанием, равным исходному треугольнику, но с половиной высоты (если плоскость параллельна основанию, но это не так).
• Правильная интерпретация: Плоскость, проходящая через среднюю линию основания и параллельная боковому ребру, делит призму на две части. Если основание призмы — треугольник $$ABC$$, и мы проведем среднюю линию $$DE$$ (например, $$DE ∥ BC$$, $$D$$ на $$AB$$, $$E$$ на $$AC$$), то отсеченная призма будет иметь основание $$ADE$$ и высоту $$h$$, или основание $$MBCN$$ (трапеция) и высоту $$h$$.
• Если плоскость проведена через среднюю линию основания, параллельно боковому ребру, то она делит основание на две части. Если исходное основание — треугольник $$ABC$$, то средняя линия $$DE$$ (например, $$DE || BC$$, $$D$$ на $$AB$$, $$E$$ на $$AC$$) делит его на треугольник $$ADE$$ и трапецию $$DBCE$$. Объем отсеченной призмы будет зависеть от того, какая часть основания используется.
• Рассмотрим случай, когда плоскость отсекает призму, основанием которой является треугольник, образованный средней линией и одной из сторон исходного основания. Например, если средняя линия соединяет середины $$AB$$ и $$AC$$, то она параллельна $$BC$$. Если плоскость проходит через эту среднюю линию и боковое ребро, она отсекает часть призмы.
• Ключевой момент: средняя линия основания делит треугольник на два равновеликих треугольника, когда проведена через середины двух сторон. Если плоскость проведена через среднюю линию и параллельна боковому ребру, это означает, что высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы ($$h$$), а площадь основания отсеченной призмы равна половине площади основания исходной призмы.
• Площадь треугольника, образованного средней линией и одной из сторон, равна половине площади исходного треугольника.
• $$S_{отсеч. осн} = \frac{1}{2} S_{осн}$$.
• Объем отсеченной призмы $$V_{отсеч} = S_{отсеч. осн}  h = \left( \frac{1}{2} S_{осн} \right)  h = \frac{1}{2} (S_{осн}  h) = \frac{1}{2} V$$.
• $$V_{отсеч} = \frac{1}{2}  52 = 26$$.

Ответ: 26