6. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 50°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как CM — биссектриса внешнего угла BCD, то \( ∠ BCM = ∠ MCD = 50° \).

Угол BCD — развёрнутый, если точки B, C, D лежат на одной прямой. Однако, из рисунка видно, что CD — это луч, продолжение стороны AC.

Предполагаем, что CD — это луч, исходящий из C, и угол BCD — это внешний угол треугольника ABC при вершине C.

\( ∠ BCD = ∠ BCM + ∠ MCD = 50° + 50° = 100° \).

Угол ACB — внутренний угол треугольника ABC, смежный с внешним углом BCD. Следовательно, \( ∠ ACB = 180° - ∠ BCD = 180° - 100° = 80° \).

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ ABC \).

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

\( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° \)

\( ∠ BAC + ∠ BAC + 80° = 180° \)

\( 2 ∠ BAC = 180° - 80° \)

\( 2 ∠ BAC = 100° \)

\( ∠ BAC = 50° \)

Ответ: 50°.