6. Укажите первообразную для функции \(f(x)=4\cos 4x+\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\), график которой проходит через точку \(A\left(\frac{\pi}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Интегрируем каждое слагаемое: \(\int 4\cos 4x\,dx=\sin 4x\), а \(\int \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}\,dx=-\cos\frac{x}{2}\). Значит, \(F(x)=\sin 4x-\cos\frac{x}{2}+C\).

Подставляем точку: \(\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 2\pi-\cos\frac{\pi}{4}+C=-\frac{\sqrt{2}}{2}+C\). Отсюда \(C=\sqrt{2}\).

Ответ: \(F(x)=\sin 4x-\cos\frac{x}{2}+\sqrt{2}\).