6. Упростите: \( \frac{25-c^2}{c^2+5c} \cdot \frac{c}{c-5} \) (при \( c \neq 0, \pm 5 \))

Решение:

Разложим числитель первой дроби на множители как разность квадратов \( (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)) \) и знаменатель первой дроби как вынесение общего множителя за скобки:

\( 25 - c^2 = 5^2 - c^2 = (5 - c)(5 + c) \)

\( c^2 + 5c = c(c + 5) \)

Теперь подставим разложенные выражения в исходное:

\( \frac{(5 - c)(5 + c)}{c(c + 5)} \cdot \frac{c}{c-5} \)

Заметим, что \( 5 - c = -(c - 5) \) и \( 5 + c = c + 5 \).

\( \frac{-(c - 5)(c + 5)}{c(c + 5)} \cdot \frac{c}{c-5} \)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\( \frac{-{\cancel{(c - 5)}}\cancel{(c + 5)}} {\cancel{c}}\cancel{(c + 5)}} \cdot \frac{\cancel{c}}{\cancel{c-5}} = -1 \)

Ответ: -1