6. Упростите выражение \(\dfrac{\dfrac{x+y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x+y}}{\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}}:\dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2+(x-y)^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим числитель и знаменатель сложной дроби:

\(\dfrac{x+y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{x^2-y^2}=\dfrac{4xy}{x^2-y^2}\).

\(\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{x^2-y^2}=\dfrac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}\).

Их отношение равно \(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\). Кроме того, \((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\), поэтому деление на вторую дробь даёт

\(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}:\dfrac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}=\dfrac{4}{xy}\).

Ответ: \(\dfrac{4}{xy}\).