6. Упростите выражение \(\left(\dfrac{\dfrac{x+y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x+y}}{\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}}\right):\dfrac{x^2y^2}{(x+y)^2+(x-y)^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим числитель и знаменатель большой дроби:

\(\dfrac{x+y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{4xy}{x^2-y^2}\), а \(\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}\).

Их частное равно \(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\). Кроме того, \((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\), поэтому исходное выражение равно

\(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}:\dfrac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}=\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\cdot\dfrac{2(x^2+y^2)}{x^2y^2}=\dfrac{4}{xy}\).

Ответ: \(\dfrac{4}{xy}\).