6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что DD₁=17, CD=19, AD=20. Найдите длину диагонали CA₁.

Решение:

1. Нахождение длины диагонали основания AC:

• Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник ABCD.
• Диагональ $$AC$$ является гипотенузой прямоугольного треугольника ADC.
• По теореме Пифагора: $$AC^2 = AD^2 + CD^2$$.
• $$AC^2 = 20^2 + 19^2 = 400 + 361 = 761$$.
• $$AC = √761  см$$.

2. Нахождение длины диагонали параллелепипеда CA₁:

• Диагональ $$CA_1$$ является гипотенузой прямоугольного треугольника ACA₁.
• Катеты этого треугольника — диагональ основания $$AC$$ и боковое ребро $$AA_1$$ (которое равно $$DD_1$$ и $$CC_1$$ в прямоугольном параллелепипеде).
• $$AA_1 = DD_1 = 17  см$$.
• По теореме Пифагора: $$CA_1^2 = AC^2 + AA_1^2$$.
• $$CA_1^2 = 761 + 17^2 = 761 + 289 = 1050$$.
• $$CA_1 = √1050  см$$.

Ответ: Длина диагонали CA₁ равна $$√1050$$ см.