6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один катет на 7 см больше другого. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \) см. Тогда больший катет равен \( x + 7 \) см. По теореме Пифагора:

\( x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \)

\( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 \)

\( 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 \)

\( 2x^2 + 14x - 120 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 + 7x - 60 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)

\( x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)

Так как длина катета не может быть отрицательной, \( x = 5 \) см. Тогда больший катет равен \( 5 + 7 = 12 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 7) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \) см².

Ответ: 30 см².