6. В прямоугольном треугольнике KLM угол L прямой, LM = 10, LF ⟂ KM, LF = 6. KL — ? cos ∠K — ?

Обозначим \(KL=a\), а гипотенузу \(KM=c\). По площади треугольника высота к гипотенузе удовлетворяет равенству \(LF=\frac{KL\cdot LM}{KM}\). Тогда \(6=\frac{10a}{c}\), то есть \(c=\frac{5a}{3}\).

По теореме Пифагора:

\(a^2+10^2=c^2=\frac{25a^2}{9}\), откуда \(a^2=56{,}25\) и \(a=7{,}5\).

Следовательно, \(KM=\frac{5}{3}\cdot7{,}5=12{,}5\), а \(\cos\angle K=\frac{KL}{KM}=\frac{7{,}5}{12{,}5}=0{,}6\).

Ответ: KL = 7,5; cos ∠K = 0,6.