6. В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠C = 45°, BC = 2√2. Найдите сторону AB. Сначала найдите угол B, затем используйте теорему синусов, а потом — косинусов для проверки.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов, учитывая, что BC лежит напротив угла A, а AB — напротив угла C:

\(\dfrac{AB}{\sin45^\circ}=\dfrac{BC}{\sin30^\circ}\), откуда \(AB=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{1/2}=4\).

Проверка по теореме косинусов: \(AC=\dfrac{BC\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}=2\sqrt3+2\). Тогда \(BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cos B=8+(16+8\sqrt3)-2\cdot2\sqrt2(2\sqrt3+2)\left(-\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)=16=AB^2\).

Ответ: \(AB=4\).