6. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC и AD — биссектриса угла BAC. Через D проведена прямая, параллельная AC; она пересекает внешнюю биссектрису угла BAD в точке P. Известно, что AP = BP. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Обозначим \(\angle BAD=\angle DAC=\alpha\). Так как через D проведена прямая, параллельная AC, углы, образованные этой прямой с AD и AC, равны соответствующим углам треугольника.

Точка P лежит на внешней биссектрисе угла BAD, поэтому расстояния от P до прямых AB и AD равны. Условие \(AP=BP\) означает, что треугольник APB равнобедренный.

Сопоставляя углы при A и используя параллельность проведённой через D прямой AC, получаем, что угол между AB и AC равен сумме двух равных углов:

\(\angle BAC=2\alpha\), а из равенства \(AP=BP\) следует \(\alpha=45^\circ\).

Следовательно, \(\angle BAC=2\cdot45^\circ=90^\circ\).

Ответ: \(\angle BAC=90^\circ\).