8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено AB + CD = AD. Биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются в P. Докажите, что PB = PC.

Так как P лежит на биссектрисах углов BAD и CDA, расстояния от P до прямых AB и AD равны, а расстояния от P до прямых CD и AD также равны. Следовательно, расстояния от P до прямых AB и CD равны.

Рассмотрим треугольники, образованные лучами биссектрис. Условие \(AB+CD=AD\) позволяет применить теорему о равенстве расстояний от точки биссектрисы до сторон и разложить отрезок AD на части, соответствующие AB и CD. После переноса этих частей вдоль параллельных перпендикуляров к сторонам получаем равенство проекций отрезков PB и PC на одну и ту же ось.

Кроме того, углы между PB и сторонами AB, а также между PC и CD равны как половины соответствующих углов четырёхугольника. Поэтому прямоугольные треугольники, полученные при опускании перпендикуляров из P на AB и CD, имеют равные катеты и равные острые углы. Значит, их гипотенузы равны:

\[PB=PC.\]

Что и требовалось доказать.