№6. В треугольнике MNP: NP = 2, MP = 4, cos∠N = −0,25. MN — ?

Обозначим \(MN=x\), где \(x>0\). По теореме косинусов:

\(\cos\angle N=\frac{MN^2+NP^2-MP^2}{2\cdot MN\cdot NP}\).

Подставим известные значения: \(\frac{x^2+2^2-4^2}{2\cdot x\cdot2}=-0.25=-\frac14\).

Получаем \(\frac{x^2-12}{4x}=-\frac14\), откуда \(x^2-12=-x\), то есть \(x^2+x-12=0\).

Разложим на множители: \((x+4)(x-3)=0\). С учётом \(x>0\) подходит только \(x=3\).

Ответ: \(MN=3\).