№7. В треугольнике OLP: OL = √5, OP = √2, ∠P = 45°. LP — ?

Обозначим \(LP=x\), где \(x>0\). Сторона \(OL\) лежит напротив угла \(P\). По теореме косинусов:

\(OL^2=OP^2+LP^2-2\cdot OP\cdot LP\cdot\cos\angle P\).

Подставим данные: \(5=2+x^2-2\cdot\sqrt2\cdot x\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2+x^2-2x\).

Получаем \(x^2-2x-3=0\), или \((x-3)(x+1)=0\). Поскольку длина положительна, \(x=3\).

Ответ: \(LP=3\).