6. Выполнить действие \( \left( 1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} + 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{3} \right) : \frac{5}{6} \)

Решение:

Сначала выполним действия в скобках.

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \]

\[ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]

\[ 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \]

\[ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]

2. Выполним умножение дробей:

\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{36}{12} = 3 \]

3. Сложим результаты умножения:

\[ 4 + 3 = 7 \]

4. Разделим полученную сумму на \( \frac{5}{6} \):

\[ 7 : \frac{5}{6} = 7 \cdot \frac{6}{5} = \frac{42}{5} \]

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

\[ \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} \]

Ответ: \( 8\frac{2}{5} \).