630. а) Биссектриса угла A треугольника ABC делит медиану, проведённую из вершины B, в отношении 6:5, считая от вершины B. В каком отношении, считая от вершины C, эта биссектриса делит сторону BC? б) Биссектриса угла B треугольника ABC делит медиану, проведённую из вершины C, в отношении 8:3, считая от вершины C. В каком отношении, считая от вершины A, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины A?

1. а) Обозначим через D середину AC, а через E точку пересечения биссектрисы с медианой BD. По условию \(BE:ED=6:5\). В координатах относительно вершин \(A,B,C\) точка D имеет доли \((1/2,0,1/2)\), поэтому у E отношение долей при B и C равно \(5:3\). Следовательно, точка пересечения биссектрисы со стороной BC делит её так, что \(BF:FC=3:5\). Значит, считая от C, \(CF:FB=5:3\).

2. б) Обозначим через D середину AB, а через E точку пересечения биссектрисы с медианой CD. Условие \(CE:ED=8:3\) даёт отношение долей при A и C точки E, равное \(4:3\). Поэтому точка пересечения биссектрисы со стороной AC делит её в отношении \(AG:GC=4:3\). На медиане из A доли при B и C равны. Из соотношения долей на прямой BG получается, что точка пересечения этой биссектрисы с медианой из A делит её в отношении \(8:3\), считая от A.

Ответ: а) 5:3; б) 8:3.