66. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен: а) x² − 6x + 10 принимает положительное значение; б) 5x² − 10x + 5 принимает неотрицательное значение; в) −x² + 20x − 100 принимает неположительное значение; г) −2x² + 16x − 33 принимает отрицательное значение; д) x² − 0,32x + 0,0256 принимает неотрицательное значение; е) 4x² + 0,8x + 2 принимает положительное значение. 1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений. 2) Распределите, кто выполнит задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

Чтобы доказать утверждения для любого x, выделим квадрат двучлена.

а) x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1. Так как квадрат неотрицателен, выражение всегда не меньше 1, значит, оно положительно.

б) 5x² − 10x + 5 = 5(x − 1)² ≥ 0.

в) −x² + 20x − 100 = −(x − 10)² ≤ 0.

г) −2x² + 16x − 33 = −2(x − 4)² − 1. Поскольку −2(x − 4)² ≤ 0, выражение не больше −1, значит, отрицательно.

д) x² − 0,32x + 0,0256 = (x − 0,16)² ≥ 0.

е) 4x² + 0,8x + 2 = 4(x + 0,1)² + 1,96. Это выражение не меньше 1,96, следовательно, положительно.

Во всех пунктах нужный вывод следует из неотрицательности квадрата действительного числа.