699 Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Задание 699: Нахождение тригонометрических функций

Будем использовать основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и определения \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Будем считать, что \( \alpha \) — острый угол, поэтому \( \sin \alpha > 0 \) и \( \text{tg} \alpha > 0 \).

а) cos α = 1/2

Найдём \( \sin \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 \]

\[ \sin \alpha = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Найдём \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \]

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \text{tg} \alpha = \sqrt{3} \).

б) cos α = 2/3

Найдём \( \sin \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9 \]

\[ \sin \alpha = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Найдём \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

в) sin α = √3/2

Найдём \( \cos \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\sqrt{3}/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4 \]

\[ \cos \alpha = \sqrt{1/4} = \frac{1}{2} \]

Найдём \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \]

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \), \( \text{tg} \alpha = \sqrt{3} \).

г) sin α = 1/4

Найдём \( \cos \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16 \]

\[ \cos \alpha = \sqrt{15/16} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Найдём \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15} \]

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15} \).