7.105. Укажите наименьшее целое положительное решение неравенства (x-1)²(x²-4) x²-5x+6 ≥ 0.

Решение:

1. Преобразуем неравенство: \[ \frac{(x-1)^2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \ge 0 \]
2. Сокращаем общий множитель (x-2), учитывая, что x ≠ 2: \[ \frac{(x-1)^2(x+2)}{x-3} \ge 0 \]
3. Определяем знаки каждого множителя и интервалы, где неравенство выполняется. Учитываем, что (x-1)² ≥ 0 при всех x, и x ≠ 1.
4. Критические точки: x = -2 (числитель), x = 3 (знаменатель), x = 1 (множитель (x-1)²).
5. Метод интервалов:
• При x < -2: Числитель отрицательный, знаменатель отрицательный. Дробь положительная.
• При -2 < x < 1: Числитель положительный, знаменатель отрицательный. Дробь отрицательная.
• При 1 < x < 3: Числитель положительный, знаменатель отрицательный. Дробь отрицательная.
• При x > 3: Числитель положительный, знаменатель положительный. Дробь положительная.
6. Учитывая, что x ≠ 2, неравенство выполняется при x ∈ [-2, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3, ∞).
7. Наименьшее целое положительное решение: x = 1.

Ответ: 1