7.107. Укажите количество целых решений неравенства (x-2)³ x²-6x+5 ≥ 0, удовлетворяющих условию -4 ≤ x < 10.

Решение:

1. Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$$.
2. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(x-2)^3}{(x-1)(x-5)} \ge 0 \]
3. Определим знаки множителей в числителе и знаменателе. Критические точки: $$x=2$$ (корень нечетной кратности), $$x=1$$, $$x=5$$ (корни четной кратности, знаки меняются).
4. Применяем метод интервалов:
• $$x < 1$$: $$\frac{(-)^3}{(-)(-)}$$, т.е. $$\frac{-}{+} = -$$.
• $$1 < x < 2$$: $$\frac{(-)^3}{(+)(-)} = \frac{-}{-} = +$$.
• $$2 < x < 5$$: $$\frac{(+)^3}{(+)(-)} = \frac{+}{-} = -$$.
• $$x > 5$$: $$\frac{(+)^3}{(+)(+)} = \frac{+}{+} = +$$.
5. Таким образом, неравенство выполняется при $$x \in (1, 2] \cup (5, \infty)$$.
6. Учитывая условие $$-4 \le x < 10$$, находим пересечение: $$x \in (1, 2] \cup (5, 10)$$.
7. Целые решения в этом интервале: $$x=2$$ (из первого интервала) и $$x=6, 7, 8, 9$$ (из второго интервала).
8. Общее количество целых решений: 1 + 4 = 5.

Ответ: 5