7.108. Найдите сумму целых решений неравенства (4-x)(x+1) x² ≤ 0, удовлетворяющих условию -3 < x < 7.

Решение:

1. Преобразуем неравенство: \[ \frac{-(x-4)(x+1)}{x^2} \le 0 \]
2. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \[ \frac{(x-4)(x+1)}{x^2} \ge 0 \]
3. Заметим, что $$x^2 > 0$$ при $$x
   eq 0$$. Следовательно, знак неравенства определяется знаком произведения $$(x-4)(x+1)$$.
4. Критические точки: $$x=4$$ и $$x=-1$$.
5. Применяем метод интервалов:
• $$x < -1$$: $$(x-4)$$ отрицательный, $$(x+1)$$ отрицательный. Произведение положительное.
• $$-1 < x < 4$$: $$(x-4)$$ отрицательный, $$(x+1)$$ положительный. Произведение отрицательное.
• $$x > 4$$: $$(x-4)$$ положительный, $$(x+1)$$ положительный. Произведение положительное.
6. Неравенство $$\frac{(x-4)(x+1)}{x^2} \ge 0$$ выполняется при $$x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$$.
7. Учитывая условие $$-3 < x < 7$$, находим пересечение: $$x \in (-3, -1] \cup [4, 7)$$.
8. Целые решения в этом интервале: $$x=-2, -1$$ (из первого интервала) и $$x=4, 5, 6$$ (из второго интервала).
9. Сумма целых решений: $$-2 + (-1) + 4 + 5 + 6 = 12$$.

Ответ: 12