7.111. Сколько числовых промежутков содержит решение неравенства x²-3x-4 (x-7)² ≤ 0?

Решение:

1. Разложим числитель на множители: $$x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$$.
2. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(x-4)(x+1)}{(x-7)^2} \le 0 \]
3. Знаменатель $$(x-7)^2$$ всегда положителен, кроме $$x=7$$, где он равен нулю (что недопустимо).
4. Следовательно, знак неравенства определяется знаком произведения $$(x-4)(x+1)$$, и оно должно быть неположительным.
5. Критические точки: $$x=4$$ и $$x=-1$$.
6. Применяем метод интервалов для $$(x-4)(x+1) \le 0$$:
• $$x < -1$$: $$(x-4)$$ отрицательный, $$(x+1)$$ отрицательный. Произведение положительное.
• $$-1 < x < 4$$: $$(x-4)$$ отрицательный, $$(x+1)$$ положительный. Произведение отрицательное.
• $$x > 4$$: $$(x-4)$$ положительный, $$(x+1)$$ положительный. Произведение положительное.
7. Неравенство $$(x-4)(x+1) \le 0$$ выполняется при $$x \in [-1, 4]$$.
8. Учитывая, что $$x
   eq 7$$, и что $$7$$ не входит в интервал $$[-1, 4]$$, решение неравенства есть $$x \in [-1, 4]$$.
9. Этот интервал является одним числовым промежутком.

Ответ: 1