7.109. Сколько числовых промежутков содержит решение неравенства (x-1)²(x-2) x²-6x+8 ≤ 0?

Решение:

1. Разложим знаменатель на множители: $$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$$.
2. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-2)(x-4)} \le 0 \]
3. Сократим общий множитель $$(x-2)$$, учитывая, что $$x
   eq 2$$: \[ \frac{(x-1)^2}{x-4} \le 0 \]
4. Заметим, что $$(x-1)^2 \ge 0$$ при всех $$x$$.
5. Чтобы дробь была неположительной, необходимо, чтобы:
• $$(x-1)^2 = 0$$, что дает $$x=1$$.
• или $$(x-1)^2 > 0$$ (т.е. $$x
  eq 1$$) и $$x-4 < 0$$ (т.е. $$x < 4$$).
6. Таким образом, решение неравенства $$\frac{(x-1)^2}{x-4} \le 0$$ есть $$x \in (-\infty, 1] \cup (1, 4)$$.
7. Объединяя эти интервалы, получаем $$x \in (-\infty, 4)$$.
8. Однако, мы сократили $$(x-2)$$, что означает $$x
   eq 2$$.
9. Итак, решение исходного неравенства: $$x \in (-\infty, 2) \cup (2, 4)$$.
10. Это решение состоит из двух числовых промежутков.

Ответ: 2