7.106. Найдите сумму отрицательных решений неравенства x²+12x+36 (x+3)(4-x) ≥ 0.

Решение:

1. Представим неравенство в виде: \[ \frac{(x+6)^2}{(x+3)(4-x)} \ge 0 \]
2. Чтобы дробь была неотрицательной, числитель и знаменатель должны быть либо оба положительны, либо оба отрицательны (или числитель равен нулю).
3. Числитель $$(x+6)^2$$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $$x = -6$$.
4. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: $$(x+6)^2 > 0$$ и $$(x+3)(4-x) > 0$$.
• $$(x+6)^2 > 0$$ при $$x
  eq -6$$.
• $$(x+3)(4-x) > 0 \implies (x+3)(x-4) < 0$$. Критические точки: -3 и 4. Решение: $$x \in (-3, 4)$$.
• Объединяя условия, получаем $$x \in (-3, 4)$$, при этом $$x
  eq -6$$.
• Случай 2: $$(x+6)^2 = 0$$ и $$(x+3)(4-x)
  eq 0$$.
• $$(x+6)^2 = 0 \implies x = -6$$.
• При $$x = -6$$, знаменатель $$(-6+3)(4-(-6)) = (-3)(10) = -30
  eq 0$$.
• Таким образом, $$x = -6$$ является решением.
• Объединяя оба случая, решения неравенства: $$x \in [-6, -3) \cup (-3, 4)$$.
• Нас интересуют отрицательные решения. Из интервала $$[-6, -3)$$ отрицательные целые решения: -6, -5, -4. Из интервала $$(-3, 4)$$ отрицательные целые решения: -2, -1.
• Сумма отрицательных целых решений: $$-6 + (-5) + (-4) + (-2) + (-1) = -18$$.

Ответ: -18