7.110. Укажите наименьшее целое решение неравенства x²+8x+16 (x-2)²(x+3) ≥ 0.

Решение:

1. Представим числитель как полный квадрат: $$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$$.
2. Неравенство принимает вид: \[ \frac{(x+4)^2}{(x-2)^2(x+3)} \ge 0 \]
3. Числитель $$(x+4)^2$$ всегда неотрицателен. Знаменатель $$(x-2)^2$$ также всегда неотрицателен.
4. Чтобы дробь была неотрицательной, нам нужно, чтобы знаменатель был положителен (так как числитель неотрицателен, и мы не можем делить на ноль).
5. Знаменатель $$(x-2)^2(x+3) > 0$$.
6. $$(x-2)^2 > 0$$ при $$x
   eq 2$$.
7. Значит, нам нужно, чтобы $$x+3 > 0$$, то есть $$x > -3$$.
8. Также, числитель может быть равен нулю, т.е. $$(x+4)^2 = 0$$, что дает $$x = -4$$.
9. При $$x=-4$$, знаменатель $$(-4-2)^2(-4+3) = (-6)^2(-1) = 36(-1) = -36$$. В этом случае дробь равна 0, что удовлетворяет условию $$\ge 0$$.
10. Итак, решения: $$x = -4$$ и $$x > -3$$ (при условии $$x
    eq 2$$).
11. Объединяя, получаем $$x \in \{-4\} \cup (-3, 2) \cup (2, \infty)$$.
12. Наименьшее целое решение: $$x = -4$$.

Ответ: -4