7.15 Найдите значение выражения: 7 cosa, если sin a = 3√5 / 7 и α ∈ (0; π/2).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
2. Подставим значение \( \sin\alpha \): \( (\frac{3\sqrt{5}}{7})^2 + \cos^2\alpha = 1 \).
3. Вычислим квадрат синуса: \( \frac{9 \cdot 5}{49} + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \frac{45}{49} + \cos^2\alpha = 1 \).
4. Найдем \( \cos^2\alpha \): \( \cos^2\alpha = 1 - \frac{45}{49} = \frac{49 - 45}{49} = \frac{4}{49} \).
5. Так как \( \alpha \in (0; \pi/2) \) (первая четверть), то \( \cos\alpha > 0 \).
6. Извлечём квадратный корень: \( \cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7} \).
7. Теперь найдём значение выражения \( 7\cos\alpha \): \( 7 \cdot \frac{2}{7} = 2 \).

Ответ: 2