7. а) Решите уравнение cos 2x = 1 - cos (π/2 - x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -π].

Решение:

а) Решение уравнения:

Воспользуемся формулами:

\( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \)

\( \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) \)

Подставим в исходное уравнение:

\( 2\cos^2(x) - 1 = 1 - \sin(x) \)

\( 2\cos^2(x) + \sin(x) - 2 = 0 \)

Заменим \( \cos^2(x) \) на \( 1 - \sin^2(x) \):

\( 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) - 2 = 0 \)

\( 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) - 2 = 0 \)

\( -2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \)

\( \sin(x) (1 - 2\sin(x)) = 0 \)

Это даёт два случая:

Случай 1: \( \sin(x) = 0 \)
\( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( 1 - 2\sin(x) = 0 \)
\( 2\sin(x) = 1 \)
\( \sin(x) = \frac{1}{2} \)
\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней, принадлежащих промежутку [-5π/2; -π]:

Проверим корни из случая 1: \( x = \pi n \).

\( n = -1: x = -\pi \) (принадлежит промежутку).

\( n = -2: x = -2\pi \) (принадлежит промежутку).

\( n = -3: x = -3\pi \) (не принадлежит промежутку, так как \( -3\pi = -6\pi/2 \) < \( -5\pi/2 \)).

Проверим корни из случая 2:

Подгруппа 2.1: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

\( k = -1: x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \).

Сравним с границами: \( -5\pi/2 = -15\pi/6 \). \( -\frac{11\pi}{6} \) находится между \( -15\pi/6 \) и \( -6\pi/6 \) (т.к. \( -11\pi/6 \) > \( -15\pi/6 \) и \( -11\pi/6 \) < \( -6\pi/6 \)). Значит, \( x = -\frac{11\pi}{6} \) принадлежит промежутку.

\( k = -2: x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). Этот корень меньше \( -5\pi/2 = -15\pi/6 \), не принадлежит промежутку.

Подгруппа 2.2: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

\( k = -1: x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \).

Сравним с границами: \( -5\pi/2 = -15\pi/6 \). \( -\frac{7\pi}{6} \) находится между \( -15\pi/6 \) и \( -6\pi/6 \). Значит, \( x = -\frac{7\pi}{6} \) принадлежит промежутку.

\( k = -2: x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). Этот корень меньше \( -5\pi/2 = -15\pi/6 \), не принадлежит промежутку.

Ответ: а) \( x = \pi n \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \). б) \( -2\pi \), \( -3\pi \), \( -\frac{11\pi}{6} \), \( -\frac{7\pi}{6} \).