8. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания (S_осн):

Основание — правильный четырёхугольник, то есть квадрат со стороной \( a = 6 \).

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \).

2. Площадь боковой поверхности (S_бок):

Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади этих треугольников нужно знать их высоту — апофему \( l \) пирамиды.

Сначала найдём апофему. В основании пирамиды проведем линию от центра к середине стороны квадрата. Её длина равна половине стороны квадрата, то есть \( 6/2 = 3 \). Высота пирамиды \( H = 4 \). Апофема \( l \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты — высота пирамиды и половина стороны основания.

\( l^2 = H^2 + (a/2)^2 \)

\( l^2 = 4^2 + 3^2 \)

\( l^2 = 16 + 9 \)

\( l^2 = 25 \)

\( l = \sqrt{25} = 5 \).

Теперь найдём площадь одного бокового треугольника:

\( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \).

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырёх таких треугольников:

\( S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 15 = 60 \).

3. Площадь полной поверхности (S_полн):

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)

\( S_{полн} = 36 + 60 = 96 \).

Ответ: 96.