7. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите ВС, если АВ=36.

Решение:

Пусть \( AK \) — биссектриса \( \angle A \), а \( DK \) — биссектриса \( \angle D \), и они пересекаются в точке \( K \) на стороне \( BC \).

В параллелограмме \( ABCD \) стороны \( AD \) и \( BC \) параллельны, а \( AB \) и \( CD \) параллельны.

\( AK \) — биссектриса \( \angle A \), значит \( \angle BAK = \angle KAD \).

\( DK \) — биссектриса \( \angle D \), значит \( \angle ADK = \angle KDC \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle KAD = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AK \).

Таким образом, \( \angle BAK = \angle AKB \). Это означает, что треугольник \( \triangle ABK \) равнобедренный с основанием \( AK \). Следовательно, \( AB = BK \).

Аналогично, так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle KDC = \angle DKC \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( DK \).

Значит, \( \angle ADK = \angle DKC \). Это означает, что треугольник \( \triangle DCK \) равнобедренный с основанием \( DK \). Следовательно, \( DC = KC \).

В параллелограмме \( ABCD \) противоположные стороны равны, то есть \( AB = DC \) и \( AD = BC \).

Следовательно, \( AB = DC = 36 \). Тогда \( BK = 36 \) и \( KC = 36 \).

Сторона \( BC \) состоит из отрезков \( BK \) и \( KC \):

\[ BC = BK + KC \]\[ BC = 36 + 36 \]\[ BC = 72 \]

Ответ: 72