8. Две стороны треугольника равны 5 см и 21 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

1. Нахождение третьей стороны треугольника

Обозначим стороны треугольника как \( a = 5 \) см, \( b = 21 \) см, и угол между ними \( \gamma = 60^{\circ} \). Третью сторону \( c \) найдем по теореме косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \]\[ c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cos{60^{\circ}} \]\[ c^2 = 25 + 441 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{1}{2} \]\[ c^2 = 25 + 441 - 105 \]\[ c^2 = 466 - 105 \]\[ c^2 = 361 \]\[ c = \sqrt{361} \]\[ c = 19 \] см.

2. Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника найдем по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} ab \sin{\gamma} \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 21 \sin{60^{\circ}} \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ S = \frac{105\sqrt{3}}{4} \] см².

Ответ: Третья сторона равна 19 см, площадь равна \( \frac{105\sqrt{3}}{4} \) см².