7. Дано: BC = 2√7 (рис. 11.32). Найти AH.

По рисунку \(AB=4\), \(AC=6\), \(\angle BAC=60^\circ\), а \(AH\perp BC\). Площадь треугольника найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\sin60^\circ=6\sqrt3\).

С другой стороны, \(S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AH\). Поэтому \(AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{12\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{6\sqrt{21}}{7}\).

Ответ: \(\frac{6\sqrt{21}}{7}\).