7. Докажите, что четырехугольник MNPG является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: M(−5; 1), N(−4; 4), P(−1; 5), G(−2; 2).

Найдём векторы противоположных сторон:

\(\overrightarrow{MN}=(-4-(-5);4-1)=(1;3)\), \(\overrightarrow{GP}=(-1-(-2);5-2)=(1;3)\).

\(\overrightarrow{NP}=(-1-(-4);5-4)=(3;1)\), \(\overrightarrow{MG}=(-2-(-5);2-1)=(3;1)\).

Противоположные стороны попарно равны и параллельны, поэтому MNPG — параллелограмм. Его диагонали соединяют противоположные вершины: MP и NG.

Длина MP: \(\overrightarrow{MP}=(-1-(-5);5-1)=(4;4)\), поэтому \(|MP|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\).

Длина NG: \(\overrightarrow{NG}=(-2-(-4);2-4)=(2;-2)\), поэтому \(|NG|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}\).

Точка пересечения диагоналей — середина обеих: для MP это \((-3;3)\); для NG получается та же точка.

Ответ: MNPG — параллелограмм; диагонали MP и NG, их длины \(4\sqrt{2}\) и \(2\sqrt{2}\); точка пересечения \((-3;3)\).