9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Обоснование: Это задание требует не только знания, но и умения формулировать и доказывать теоремы, которые определяют, является ли четырёхугольник параллелограммом.

Признаки параллелограмма:

1. Признак 1: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Доказательство: Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам: AB=CD, BC=AD, AC=AC). Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠CAD. Эти пары углов являются накрест лежащими при прямых AB, CD и секущей AC, а также при прямых BC, AD и секущей AC. Следовательно, AB || CD и BC || AD. Четырёхугольник ABCD, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
2. Признак 2: Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Доказательство: Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Тогда 2∠A + 2∠B = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°. Так как сумма односторонних углов ∠A и ∠B равна 180°, то AD || BC. Аналогично, ∠B + ∠C = 180°, что означает AB || CD. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
3. Признак 3: Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Доказательство: Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O так, что AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD (как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что AB = CD. Аналогично, треугольники BOC и DOA равны (BO = OD, OC = OA, ∠BOC = ∠DOA). Следовательно, BC = AD. Так как противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно равны, то по первому признаку он является параллелограммом.