9 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Признаки параллелограмма:

Есть несколько способов узнать, является ли четырёхугольник параллелограммом. Если выполняется хотя бы одно из этих условий, то да!

1. Признак 1: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
   Доказательство: Проведём диагональ (например, AC) в четырёхугольнике ABCD. Она разделит его на два треугольника: ABC и ADC. Мы знаем, что AB = DC и BC = AD (по условию). Так как AC – общая сторона, то треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует, что углы BAC = DCA и BCA = DAC. Эти пары углов являются накрест лежащими при прямых AB и DC (и секущей AC) и при прямых BC и AD (и секущей AC). Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, AB || DC и BC || AD. По определению, четырёхугольник с параллельными противоположными сторонами – параллелограмм.
2. Признак 2: Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то это параллелограмм.
   Доказательство: Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Пусть углы A = C и B = D. Тогда A + B + C + D = 360°, что можно записать как 2A + 2B = 360°, или A + B = 180°. Если сумма углов A и B равна 180°, то стороны AD и BC параллельны (так как сумма односторонних углов равна 180°). Аналогично, если A + D = 180°, то стороны AB и DC параллельны. Значит, четырёхугольник – параллелограмм.
3. Признак 3: Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
   Доказательство: Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и AO = OC, BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD (по условию), а углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что углы OAB = OCD. Это накрест лежащие углы при прямых AB и DC и секущей AC. Значит, AB || DC. Аналогично, рассматривая треугольники BOC и DOA, мы докажем, что BC || AD. Четырёхугольник с параллельными противоположными сторонами – параллелограмм.