18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.

Обоснование: Задание требует сформулировать и доказать теоремы, которые определяют, является ли четырёхугольник квадратом.

Признаки квадрата:

1. Признак 1: Если параллелограмм является ромбом и имеет прямой угол, то он является квадратом.
• Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD, который является ромбом (AB=BC=CD=DA) и имеет прямой угол (например, ∠A = 90°). Так как это ромб, то противоположные стороны равны. Так как это параллелограмм, то противоположные углы равны, а прилежащие в сумме дают 180°. Если ∠A = 90°, то ∠C = 90°. Так как ∠A + ∠B = 180°, то 90° + ∠B = 180°, откуда ∠B = 90°. Аналогично, ∠D = 90°. Таким образом, все углы параллелограмма равны 90°, и он является прямоугольником. Поскольку он одновременно является ромбом (все стороны равны), то он является квадратом.
2. Признак 2: Если параллелограмм является прямоугольником и имеет равные диагонали, то он является квадратом.
• Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD, который является прямоугольником (все углы равны 90°) и имеет равные диагонали (AC = BD). По свойству прямоугольника, если его диагонали равны, то он является квадратом. (Это следует из того, что если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник. А если параллелограмм является прямоугольником и его диагонали равны, то он квадрат.)
3. Признак 3: Если четырёхугольник является ромбом и его диагонали равны, то он является квадратом.
• Доказательство: Пусть дан ромб ABCD (все стороны равны) с равными диагоналями (AC = BD). Так как ромб является параллелограммом, и его диагонали равны, то по признаку (если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник) этот четырехугольник является прямоугольником. Так как он одновременно является ромбом, то он является квадратом.