18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.

Признаки квадрата:

Квадрат – это особенная фигура, поэтому его признаки сочетают в себе признаки прямоугольника и ромба.

1. Признак 1: Если четырёхугольник является одновременно и ромбом, и прямоугольником, то это квадрат.
   Доказательство: Ромб – это параллелограмм с равными сторонами. Прямоугольник – это параллелограмм с прямыми углами. Если четырёхугольник – и ромб, и прямоугольник, значит, у него все стороны равны (от ромба) и все углы прямые (от прямоугольника). Это и есть определение квадрата.
2. Признак 2: Если четырёхугольник является ромбом, и одна из его диагоналей делит углы ромба пополам, то это квадрат. (На самом деле, это не совсем точный признак, так как диагонали ромба ВСЕГДА делят углы пополам. Более корректным будет следующий вариант).
3. Признак 3: Если ромб имеет равные диагонали, то это квадрат.
   Доказательство: Мы знаем, что у ромба все стороны равны. Если его диагонали равны, то по признаку, который мы доказывали ранее (если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник), этот ромб является и прямоугольником. Значит, у него все углы прямые. Четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, – это квадрат.
4. Признак 4: Если прямоугольник имеет равные смежные стороны, то это квадрат.
   Доказательство: Прямоугольник – это параллелограмм с прямыми углами. Если его смежные стороны равны (например, AB = BC), то по определению ромба (четырёхугольник с равными сторонами) он является ромбом. Четырёхугольник, который является и прямоугольником, и ромбом, – это квадрат.