14 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство:

Если у параллелограмма диагонали одинаковой длины, то он точно прямоугольник.

1. Берём параллелограмм: Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, и его диагонали AC и BD равны (AC = BD).
2. Смотрим на треугольники: Рассмотрим два треугольника: ABC и DCB.
3. Что мы знаем об этих треугольниках?
   • У них есть общая сторона BC.
   • Стороны AB и DC равны, потому что это противоположные стороны параллелограмма.
   • Диагонали AC и DB равны по условию.
4. Применяем признак равенства треугольников: По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), треугольники ABC и DCB равны.
5. Что из этого следует? Раз треугольники равны, то и их соответствующие углы равны. Значит, угол ABC равен углу DCB.
6. Вспоминаем свойства параллелограмма: Угол ABC и угол DCB – это соседние углы параллелограмма. Мы знаем, что сумма соседних углов в параллелограмме равна 180° (так как они являются односторонними при параллельных прямых AB и DC и секущей BC).
7. Делаем вывод: Если сумма двух равных углов равна 180°, то каждый из этих углов равен 90° (180° / 2 = 90°).
8. Итог: У нас получилось, что в параллелограмме ABCD есть прямой угол (например, угол ABC). А если у параллелограмма есть хотя бы один прямой угол, то он является прямоугольником.

Вывод: Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.