7. Докажите, что выражение x² - 18x + 84 принимает положительные значения при всех значениях х.

Для доказательства того, что выражение $$x^2 - 18x + 84$$ принимает положительные значения при всех значениях x, нам нужно показать, что оно всегда больше нуля. Мы можем это сделать, выделив полный квадрат: $$x^2 - 18x + 84 = (x^2 - 18x) + 84$$ Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем $$(18/2)^2 = 81$$: $$(x^2 - 18x + 81) + 84 - 81 = (x - 9)^2 + 3$$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $$(x-9)^2 \ge 0$$ для всех x. Следовательно, $$(x - 9)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$$. Это означает, что $$x^2 - 18x + 84 \ge 3$$ для всех x, и выражение всегда принимает положительные значения, так как всегда больше или равно 3. Ответ: Выражение $$x^2 - 18x + 84$$ всегда принимает положительные значения, так как $$x^2 - 18x + 84 = (x-9)^2 + 3$$ а квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.