7. Докажите, что выражение x² - 18x + 84 принимает положительные значения при всех значениях x.

$$x^2 - 18x + 84 = x^2 - 18x + 81 + 3 = (x - 9)^2 + 3$$ Так как $$(x - 9)^2$$ всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен 0), а мы прибавляем к нему 3, то $$(x - 9)^2 + 3$$ всегда больше или равно 3. Значит, выражение всегда принимает положительные значения. **Развернутый ответ:** Чтобы доказать, что выражение $$x^2 - 18x + 84$$ принимает положительные значения при всех x, выделим полный квадрат. Представим 84 как $$81 + 3$$, где 81 это $$9^2$$. Тогда, $$x^2 - 18x + 84 = x^2 - 18x + 81 + 3$$. Заметим, что $$x^2 - 18x + 81$$ это полный квадрат $$(x - 9)^2$$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $$(x - 9)^2 + 3$$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть $$(x - 9)^2 >= 0$$. Следовательно, $$(x - 9)^2 + 3 >= 3$$. Это означает, что выражение всегда больше или равно 3, и, следовательно, всегда принимает положительные значения.