7. Докажите, что значение выражения √(3 + 10m), где m ∈ ℕ, не может быть натуральным числом.

Предположим обратное: √(3 + 10m) — натуральное число n. Тогда n² = 3 + 10m, поэтому при делении на 10 квадрат n должен давать остаток 3.

Однако квадраты натуральных чисел при делении на 10 дают только остатки 0, 1, 4, 5, 6 или 9: это следует из квадратов цифр от 0 до 9. Остаток 3 невозможен. Получили противоречие.

Следовательно, √(3 + 10m) не является натуральным числом.