7. Докажите тождество: y(x + y)² / (x⁴ - y⁴) + x / (x² + y²) = 1 / (x - y).

Решение:

Докажем тождество, преобразуя левую часть.

Левая часть:

\( \frac{y(x + y)^2}{x^4 - y^4} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: \( x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) \).

\( = \frac{y(x + y)^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)

Теперь разложим \( x^2 - y^2 \) как разность квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).

\( = \frac{y(x + y)^2}{(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)

Сократим \( (x + y) \) в первой дроби:

\( = \frac{y(x + y)}{(x - y)(x^2 + y^2)} + \frac{x}{x^2 + y^2} \)

Приведём обе дроби к общему знаменателю \( (x - y)(x^2 + y^2) \). Для этого домножим вторую дробь на \( (x - y) \):

\( = \frac{y(x + y)}{(x - y)(x^2 + y^2)} + \frac{x(x - y)}{(x - y)(x^2 + y^2)} \)

Сложим числители:

\( = \frac{y(x + y) + x(x - y)}{(x - y)(x^2 + y^2)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{(x - y)(x^2 + y^2)} \)

Сократим \( xy \):

\( = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)(x^2 + y^2)} \)

Сократим \( x^2 + y^2 \) (предполагая \( x^2 + y^2 \neq 0 \), что верно для действительных \( x \) и \( y \), если они не равны нулю одновременно):

\( = \frac{1}{x - y} \)

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.