8 Определите, пересекает ли график функции f(x) = x⁴ - 8x² - 9 ось х, и если пересекает, то в каких точках.

Решение:

1. Чтобы определить, пересекает ли график функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) ось \( Ox \), нужно найти значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \).
2. Приравниваем функцию к нулю:
   \( x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \)
3. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
   \( t^2 - 8t - 9 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)
5. Найдём значения \( t \):
   \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9 \)
   \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1 \)
6. Вернёмся к замене \( t = x^2 \):
   \( x^2 = 9 \) или \( x^2 = -1 \)
7. Решим уравнения:
   \( x^2 = 9 \) \( \Rightarrow x = \pm 3 \).
   \( x^2 = -1 \) не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
8. Следовательно, график функции пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Ответ: Да, пересекает в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \).