7. Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Дано:

• Расстояние: \( S = 100 \) км
• Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста, \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста.
• \( v_1 = v_2 + 15 \) км/ч
• Время первого велосипедиста \( t_1 \), время второго \( t_2 \).
• \( t_1 = t_2 - 6 \) часов

Найти: Скорость второго велосипедиста \( v_2 \).

Решение:

1. Вспомним формулу: \( S = v \cdot t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).
2. Запишем время для каждого велосипедиста:
   • \( t_1 = \frac{100}{v_1} = \frac{100}{v_2 + 15} \)
   • \( t_2 = \frac{100}{v_2} \)
3. Подставим эти выражения в уравнение \( t_1 = t_2 - 6 \):
   \( \frac{100}{v_2 + 15} = \frac{100}{v_2} - 6 \)
4. Приведем уравнение к общему знаменателю:
   \( \frac{100}{v_2 + 15} - \frac{100}{v_2} + 6 = 0 \)
   \( \frac{100 v_2 - 100 (v_2 + 15) + 6 v_2 (v_2 + 15)}{v_2 (v_2 + 15)} = 0 \)
5. Умножим числитель на \( v_2 (v_2 + 15) \) (при условии, что \( v_2 \) и \( v_2 + 15 \) не равны нулю):
   \( 100 v_2 - 100 v_2 - 1500 + 6 v_2^2 + 90 v_2 = 0 \)
6. Упростим уравнение:
   \( 6 v_2^2 + 90 v_2 - 1500 = 0 \)
7. Разделим все члены уравнения на 6:
   \( v_2^2 + 15 v_2 - 250 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \( D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225 \)
9. Найдем корни: \( \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 \)
   \( v_2 = \frac{-15 \pm 35}{2} \)
   • \( v_{2,1} = \frac{-15 + 35}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
   • \( v_{2,2} = \frac{-15 - 35}{2} = \frac{-50}{2} = -25 \)
10. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 10 км/ч