8. Вычислите 1 / (7 + 4*sqrt(3)) + 1 / (7 - 4*sqrt(3))

Задание: Вычислить сумму двух дробей с иррациональными знаменателями.

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей:
   \( (7 + 4\sqrt{3}) (7 - 4\sqrt{3}) \)
2. Используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
   \( 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1 \)
3. Теперь приведем числители к общему знаменателю:
   \( \frac{1 \cdot (7 - 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} \)
4. Сложим числители:
   \( \frac{(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3})}{1} \)
5. Раскроем скобки и упростим:
   \( 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 14 \)

Ответ: 14